Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2372
i

Най­ди­те (в гра­ду­сах) сумму раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния 2 синус 6x ко­си­нус 6x минус синус 12x синус 9x = 0 на про­ме­жут­ке (−110°; −30°).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решая урав­не­ние, по­лу­ча­ем:

2 синус 6x ко­си­нус 6x минус синус 12x синус 9x = 0 рав­но­силь­но синус 12x минус синус 12x синус 9x = 0 рав­но­силь­но синус 12x левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус 9x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 12x = 0, синус 9x = 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 12x = Пи k, 9x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 15 гра­ду­сов k, x = 10 гра­ду­сов плюс 40 гра­ду­сов k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

От­бе­рем корни пер­вой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку:

 минус 110 гра­ду­сов мень­ше 15 гра­ду­сов k мень­ше минус 30 гра­ду­сов рав­но­силь­но k = минус 7, минус 6, минус 5, минус 4, минус 3.

Таким об­ра­зом, корни пер­вой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку: −105°, −90°, −75°, −60°, −45°. От­бе­рем корни вто­рой серии, при­над­ле­жа­щие ука­зан­но­му про­ме­жут­ку:

 минус 110 гра­ду­сов мень­ше 10 гра­ду­сов плюс 40 гра­ду­сов k мень­ше минус 30 гра­ду­сов рав­но­силь­но минус 120 гра­ду­сов мень­ше 40 гра­ду­сов k мень­ше минус 40 гра­ду­сов рав­но­силь­но k = минус 2.

Таким об­ра­зом, ко­рень вто­рой серии, при­над­ле­жа­щий ука­зан­но­му про­ме­жут­ку: −70°. Сумма всех кор­ней урав­не­ния, при­над­ле­жа­щих про­ме­жут­ку (−110°; −30°), равна

 минус 105 гра­ду­сов плюс левая круг­лая скоб­ка минус 90 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус 75 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус 60 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус 45 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус 70 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 445 гра­ду­сов .

Ответ: −445.


Аналоги к заданию № 2280: 2372 Все